NGUYÊN LÝ BOLZANO WEIERSTRASS ĐỂ CHỨNG MINH DÃY SỐ HỘI TỤ CỦA DÃY SỐ

Tài liệu liên quan

50 câu trắc nghiệm ôn tập Thấu kính quy tụ và Thấu kính phân kỳ môn đồ dùng lý 9 năm 2020
SKKN giải đáp HS giải bài bác tập về thấu kính hội tụ và thấu kính phân kì trong môn đồ gia dụng lí 9 26 99 0
(Sáng kiến ghê nghiệm) lý giải HS giải bài bác tập về thấu kính quy tụ và thấu kính phân kì trong môn vật dụng lí 9
(Sáng kiến gớm nghiệm) khuyên bảo HS giải bài xích tập về thấu kính hội tụ và thấu kính phân kì vào môn đồ gia dụng lí 9 22 13 0
tài liệu Luận văn: “Một số phương án thúc đẩy chuyển động tiêu thụ thành phầm bia tương đối tại công ty sản xuất tởm doanh đầu tư chi tiêu và dịch vụ thương mại Việt Hà ” docx
tư liệu Luận văn: “Một số phương án thúc đẩy vận động tiêu thụ thành phầm bia hơi tại công ty sản xuất khiếp doanh chi tiêu và dịch vụ thương mại Việt Hà ” docx 730 0
Luận văn - Một số chiến thuật thúc đẩy vận động tiêu thụ thành phầm bia hơi tại doanh nghiệp sản xuất khiếp doanh đầu tư và thương mại dịch vụ Việt Hà docx
Luận văn - Một số chiến thuật thúc đẩy vận động tiêu thụ sản phẩm bia tương đối tại công ty sản xuất kinh doanh chi tiêu và thương mại & dịch vụ Việt Hà docx 336 0
Hiệu chỉnh Tikhonov mang đến phương trình toán tử đặt không chỉnh tốc độ hội tụ và xê dịch hữu hạn chiều (LV thạc sĩ)
Hiệu chỉnh Tikhonov mang đến phương trình toán tử đặt không chỉnh vận tốc hội tụ và xê dịch hữu hạn chiều (LV thạc sĩ) 394 0
so với giới hạn hội tụ và lý giải nguyên nhân việc không quy tụ của phương pháp Newton khi áp dụng đo lường và tính toán cho quy mô thép tinh thể
phân tích giới hạn quy tụ và giải thích nguyên nhân câu hỏi không quy tụ của phương pháp Newton khi áp dụng đo lường và thống kê cho quy mô thép tinh thể 4 68 0
§5.

Bạn đang xem: Chứng minh dãy số hội tụ

DÃY SỐ HỘI TỤ DÃY SỐ PHÂN KỲ 1) Đònh nghóa dãy số: Một hàm số x xác đònh bên trên tập hợp các số tự nhiên được call là dãy số. Đối với dãy số, bạn ta hay viết n x ráng cho kiểu viết thường thì của hàm số là ()xn , với mỗi .n Dãy số này được hiệu là n n x hoặc viết gọn gàng là n x . Tập vừa lòng n xn được call là miền giá chỉ trò của dãy số. Dãy số được call là trườn chặn bên trên hoặc trườn chặn bên dưới hoặc là bò chặn nghóa là miền giá chỉ trò của dãy có đặc thù bò ngăn trên, trườn chặn bên dưới hoặc là bò chặn. Mang đến số nhì dãy , nn xy thì ta rất có thể lập ra những dãy số bắt đầu như ; ; ; n n n n n n n x x y x y x y n n x y (nếu 0, n yn ). 2) Dãy số hội tụ dãy số phân kỳ: Dãy số n x được call là có số lượng giới hạn hoặc là hội tụ nghóa là vĩnh cửu một số thực x thế nào cho 0, , , n p n p x x Số x được call là giới hạn của dãy (x n ) được hiệu là lim n n xx tốt viết gọn gàng là lim n xx , hay những n xx khi n . Dãy số không có giới hạn hay là không hội tụ được gọi là dãy số phân kỳ. Hệ quả. (i) lim lim( ) 0. Nn x x x x (ii) lim 0 lim 0. Nn xx 3) Dãy số Cauchy: Dãy số (x n ) được điện thoại tư vấn là dãy Cô-si nghóa là 0, , , nm p n m p. X x 4) Sự phân kỳ ra vô cực: Dãy số () n x được call là phân kỳ ra dương vô cực hoặc tiến ra dương vô rất ( n x ) nghóa là: 0, , , . N M phường n p x M Sv nên dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu nắm tắt câu chữ 2 Dãy số () n x được call là phân kỳ ra âm vô cực hoặc tiến ra âm vô cực ( n x ) nghóa là: 0, , , . N M phường n p x M bài bác tập 1. Cần sử dụng đònh nghóa, hãy chứng tỏ dãy số (x n ) đònh vị a) ,, 23 n n xn n hội tụ về 1 2 . B) 2 2 1 , 21 n n xn nn , hội tụ về ½. 2. A) C/m rằng ví như dãy số (x n ) hội tụ (về x) thì dãy số đó bò chặn. B) C/m rằng trường hợp dãy số (x n ) là dãy Cauchy thì nó bò chặn. 3. C/m rằng trường hợp (x n ) có số lượng giới hạn thì số lượng giới hạn là duy nhất. 4. C/m rằng trường hợp (x n ) hội tụ (về x) thì dãy số đó là dãy Cô-si. (Chiều trái lại sẽ được xét ở bài học sau). 5. C/m rằng dãy số (s n ) đònh vày 2 2 2 1 1 1 1 23 n s n là dãy Cô-si. Hdẫn: khi xét nm ss , áp dụng 2 ( 1), .k k k k 6. C/m rằng dãy số (s n ) đònh vày 11 1 2 n s n không hẳn là dãy Cô-si. 7. Mang đến số thực lim . N xx C/m lim( ) . N xx 8. Mang đến lim lim nn x x y y . C/m lim( ) . Nn x y x y 9. Mang đến lim lim nn x x y y . C/m lim( ) . Nn x y xy 10. A) cho (x n ) hội tụ 0 0, n x n n (n 0 là số tự nhiên nào đó). C/m lim 0. N x b) mang đến hai dãy hội tụ (x n ) (y n ) 0 , nn x y n n . C/m lim lim . Nn xy c) mang lại hai dãy số (x n ) (y n ) hội tụ về cùng số lượng giới hạn là a. Trả sử (z n ) là dãy số thỏa 0 ,. N n n x z y n n khi ấy lim . N za §6. CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ HỘI TỤ Dàn bài xích tóm tắt câu chữ môn Giải Tích Hàm Một biến hóa 3 1) giới hạn bảo toàn các phép tính của dãy: đến hai hàng số hội tụ (x n ) (y n ) đến số thực . Khi đó (i) lim( ) lim lim n n n n x y x y (ii) lim( ) lim lim( ) lim . Lim . N n n n n n x x x y x y (iii) trường hợp 0 lim 0 0, nn y y n n (n 0 là số tự nhiên như thế nào đó) thì lim lim . Lim nn nn xx yy 2) số lượng giới hạn bảo toàn thiết bị tự các dãy: đến hai hàng số hội tụ (x n ) (y n ) (i) nếu 0 , nn x y n n (với n 0 như thế nào đó) thì lim lim . Nn xy (ii) ví như lim lim nn x y a tất cả thêm dãy số (a n ) thỏa 0 , n n n x a y n n thì lim . N aa 3) tính chất bò chặn của dãy hội tụ: dãy số nào hội tụ thì dãy số đó bò chặn. Như vậy, dãy số làm sao không bò chặn thì dãy số kia phân kỳ. 4) những giới hạn cơ bản: (i) cùng với r > 0, ta có 1 lim 0, r n n (ii) với r > 0, ta tất cả lim 1, n n r (iii) lim 1, n n n (iv) với r > 0 , ta bao gồm lim 0, (1 ) n n n r (v) cùng với 1x , ta gồm lim 0. N n x hội chứng minh. Sv yêu cầu dự các giờ giảng và thực hành bên trên lớp nhằm hiểu nắm tắt văn bản 4 (i) với 0 tùy ý, lựa chọn 1/ 1 1. R phường Khi kia 11 ,0 rr np np Như vậy số lượng giới hạn được chứng minh theo đònh nghóa. (ii) Xét trường đúng theo r > 1 xét dãy (x n ) đònh vị 1, . N n x r n Theo khai triển của nhò thức Newton thì (1 ) n nn r x nx (do 0 n x ) nên ,0 . N r nx n sử dụng tiêu chuẩn chỉnh giới hạn kẹp thì lim 0, n x suy ra lim 1. N r Trường thích hợp r = 1 thì hiển nhiên. Lúc 0 0. Chứng minh rằng lim 1. N n n x giả dụ x = 0 thì hiệu quả còn đúng không? 6. Tính a) 2 lim 2 n n nn b) 3 lim 3 7 2 n n nn . 7. Với số thực x tùy ý, minh chứng rằng tất cả một dãy (q n ) gồm các số hữu tỉ một dãy (r n ) gồm những số vô tỉ làm thế nào cho n qx n rx khi n . 8. Mang lại dãy số (e n ) đònh bởi 1 1. N n e n chứng minh rằng a) 1 ,. Nn n e e Hdẫn: 1 2 21 1 1 ( 1) n n n e n en n , sử dụng bất đẳng thức Bernouli. B) (e n ) bò chặn trên. Hdẫn: triển khai nhò thức Newton sẽ cho biết thêm 21 1 1 1 1 1 1 1 11 1! 2! ! 1 2 22 n n x n . . §5. DÃY SỐ HỘI TỤ VÀ DÃY SỐ PHÂN KỲ 1) Đònh nghóa dãy số: Một hàm số x xác đònh trên tập hợp những số thoải mái và tự nhiên được hotline là dãy số. Đối với hàng số, fan ta thường viết. Hàng hội tụ. 3. Mang lại dãy số (x n ) trườn chặn dưới với có đặc thù 1 ,. Nn n x x minh chứng rằng (x n ) là dãy hội tụ. 4. Cho dãy số (x n ) quy tụ về 0 cùng dãy số (y n ) bò chặn. C/m rằng dãy số. 0, n yn ). 2) dãy số quy tụ và hàng số phân kỳ: hàng số n x được điện thoại tư vấn là có số lượng giới hạn hoặc là hội tụ nghóa là tồn tại một trong những thực x sao cho 0, , , n phường n phường x x Số x được gọi là giới hạn của hàng (x n )

Bài giảng Toán thời thượng Bài 1: quan niệm và Sự hội tụ của hàng số hỗ trợ các văn bản chính bao hàm khái niệm với sự hội tụ của dãy số của hàng số thực. Để nạm nội dung cụ thể bài giảng, mời các bạn cùng e
Lib tìm hiểu thêm nhé!


*


Ánh xạ f: N→ R

(n mapsto u_n = f(n)) được gọi là một dãy số thực.

Ký hiệu: (u_0,u_1,u_2,...,u_n,...hayleft u_n,n in N ight\,hay,left u_n ight\). Thời gian đó, n được hotline là chỉ số; un được hotline là số hạng tổng thể của dãy.

Ghi chú: Ta thường xét dãy số thực là ánh xạ từ bỏ N vào R.

Ví dụ:

Cho dãy 1, 2, 3, 4, n, .... Ta tất cả số hạng bao quát của dãy là: un = n.Cho dãy(u_n\)có số hạng tổng quát(u_n = frac12n + 3). Các thành phần của dãy là(frac15,frac17,frac19,....)Cho u1 = 2 và(u_n = frac3u_n - 1 + 5u_n - 1)các số hạng của dãy là(u_1 = 2,u_2 = frac112,u_3 = frac4311,...)

2. Sự hội tụ của dãy số


Định nghĩa:

Dãy un hotline là quy tụ nếu tồn tai số(a in R)thỏa : “ (forall varepsilon > 0)cho trước, luôn luôn tồn trên số nguyên dương (N(varepsilon))sao mang lại (forall n > N(varepsilon ) Rightarrow left| u_n - a ight| ”

Khi đó ta nói un quy tụ về a và cam kết hiệu: un → a hay(mathop lim limits_n o infty u_n = a)

Nhận xét:

i) Viết (N(varepsilon)) tức là (N(varepsilon)) phụ thuộc vào vào(varepsilon, N(varepsilon)) rất có thể không là số nguyên cũng được.

Xem thêm: 10 mẫu váy đồng phục học sinh nữ tiểu học giá tốt, giảm giá đến 40%

(ii),,left| u_n - a ight|

(iii),,u_n o 0 Leftrightarrow left| u_n ight| o 0)

iv) Ta còn nói theo cách khác un hội tụ về a nếu với mọi khoảng mở V trọng tâm a ta đều có N0 sao cho(u_n in V,forall n > N_0) (nghĩa là với đa số (varepsilon) dương, luôn tồn trên số N0 làm sao cho (u_n in left( a - varepsilon ;a + varepsilon ight),forall n > N_0))

Ví dụ: chứng tỏ dãy (left frac1n ight\)hội tụ về 0

(forall varepsilon > 0), ta cần chứng minh tồn tại N0 sao cho:

(left| frac1n - 0 ight| với mọi n > N0

Với (varepsilon >0), theo đặc điểm Archimède thì(exists N_0:frac1N_0

Vậy cùng với n > N0 ta có(frac1n

Do đó(forall varepsilon > 0,exists N_0:n > N_0 Rightarrow left| frac1n - 0 ight|

Ví dụ: triệu chứng min un với(u_n = frac2n - 13n + 2)hội tụ về(frac23)

Ta có:(left| u_n - frac23 ight| = left| frac2n - 13n + 2 - frac23 ight| = left| frac6n - 3 - 6n - 43(3n + 2) ight| = frac73(3n + 2)

khi(n > frac7varepsilon = N_0)

Vậy(forall varepsilon > 0,exists N_0 = frac7varepsilon ), làm thế nào để cho với mọi n > N0

(Rightarrow left| u_n - frac23 ight|

Định nghĩa: hàng un hotline là bị chận trường hợp (exists K) sao cho

(left| u_n ight| le K,forall n)

Ví dụ:

un với(u_n = 2 + m sin^2frac1n). Ta có: (2 le u_n le 3,forall Rightarrow)dãyun bị chận.

un với(u_n = left( 1 - frac12 ight)left( 1 - frac13 ight)left( 1 - frac14 ight)....left( 1 - frac1n ight))

Ta có:(0 le u_n le 1 Rightarrow left| u_n ight| hàng un bị chận.

Ghi chú:

un call là bị chận trên giả dụ (exists M:u_n le M,forall n)un bị chận dưới nếu(exists m:u_n le m,forall n)un bị chận ⇔ un bị chận trên và bị chận dưới.

Mệnh đề

i) un hội tụ⇒un bị chận.

ii) mang sử ( u_n o a e 0). Thì(exists A > 0,exists N > 0) sao cho(left| u_n ight| > A,forall n > N)

Chứng minh:

Giả sử un→ a

Khi đó với(varepsilon = 1,exists N:n > N Rightarrow left| u_n - a ight|

(Rightarrow |u_nleft| = ight|u_n - a + m aleft| le ight|u_n - aleft| + ight|aleft| N m ( ight|u_nleft| { N))

Chọn(K = max m left left ight Rightarrow left u_n ight le K,forall n in N)

Ghi chú: Ta cũng rất có thể chọn

K=|u1| + |u2| + ... + |u
N|+ 1 +|a|

Giả sử (u_n o a e 0). Ta sẽ hội chứng minh:

(exists A > 0,exists N > 0:left| u_n ight| > A,forall n > N)

Với(varepsilon = fracleft2 > 0,exists N:n > N)ta có(left| u_n - a ight|

(Rightarrow - frac a ight2 N)

mà(left| u_n ight| = left| u_n - a + a ight| ge left| a ight| - left| u_n - a ight| > left| a ight| - frac a ight2 = frac a ight2forall n > N)

( Rightarrow exists A = frac2 > 0:left| u_n ight| > A,forall n > N)

Mệnh đề:

Nếu(u_n ge 0,forall n in N,mathop lim limits_x o infty u_n = a,thi,a ge 0)

Chứng minh (bằng phản chứng)

Giả sử a (varepsilon = - fraca2,exists N_1:n > N_1 Rightarrow left| u_n - a ight|

(Rightarrow u_n N_1)

⇒ mâu thuẫn với đưa thiết(u_n ge 0,forall n)

Ví dụ:(u_n = frac1n > 0,forall n in N)nhưng(mathop lim limits_n o infty frac1n = 0)

Mệnh đề (các phép toán về số lượng giới hạn của dãy):

Giả sử(mathop lim limits_n o + infty u_n = a) và (mathop lim limits_n o + infty v_n = b). Ta có:

(eginarrayl i),mathop lim limits_n o + infty left( u_n + v_n ight) = a + b\ ii),mathop lim limits_n o + infty u_nv_n = a.b\ iii),mathop lim limits_n o infty fracu_nv_n = fracab,(neu,,,b e 0)\ iv),mathop lim limits_n o + infty sqrt u_n = sqrt a ,,(neu,,u_n ge 0,forall n) endarray )

Chứng minh:

i) cùng với (varepsilon > 0) mang đến trước,

(eginarrayl u_n o a Rightarrow exists N_1:n > N_1:left| u_n - a ight| N_2:left| v_n - b ight|

Chọn N = max N1, N2

(eginarray*20l u_n - a + v_n - b\ { le left| u_n - a ight| + left| v_n - b ight|

(eginarrayl ii)|u_nv_n - ab| = |u_nv_n - av_n + av_n - ab|\ = |v_n(u_n - a) + a(vn - b)|\ = v_n(u_n - a)| + |a(v_n - b)|\ = |v_n||u_n - a| + |a||v_n - b|\ le M|u_n - a| + left| a ight|left| v_n - b ight| endarray)

(vì vn quy tụ nên việt nam bị chận vì M)

(le K m left| u_n - a ight| + Kleft| v_n - b ight|)

(với K = M + |a| hoặc K = max a )

Do đó:(forall varepsilon > 0,exists N_1:n > N_1:left| u_n - a ight|

(exists N_2:n > N_2:left| v_n - b ight|

(Rightarrow n > N = max left N_1,N_2 ight:left| u_nv_n - ab ight|

Do đó:(u_nv_n o ab)

(iii),fracu_nv_n = u_nfrac1v_n)

Do đó, ta chỉ việc chứng minh: nếu(v_n o b)thì(frac1v_n o frac1b(b e 0))

Mênh đề:

Nếu(left{ eginarrayl mathop lim limits_n o + infty u_n = a,mathop lim limits_n o + infty v_n = b\ u_n le v_n,forall n in N endarray ight. )thì a (mathop lim limits_x o + infty left( v_n - u_n ight) = b - a)

mà (v_n - u_n ge 0,,,forall n in N). Theo mệnh đề 5 ta suy ra:

(b - a ge 0 Rightarrow b ge a)

Ghi chú

Nếu ta thay (u_n le v_n,forall n), bằng(u_n N) thì định lý vẫn đúng.Nếu(u_n > v_n,forall _n in N) thì ta cũng chỉ suy ra(b ge a)(không thể bỏ dấu = )

Ví dụ:(frac3n^24n^2 + 1 > frac3n^24n^2 + 3)nhưng

(mathop lim limits_x o + infty frac3n^24n^2 + 1 = mathop lim limits_x o + infty frac3n^24n^2 + 3 = frac34)

Định lý (kẹp)

Giả sử(u_n le x_n le v_n,,forall n in N,(*))

và(mathop lim limits_x o + infty u_n = mathop lim limits_x o + infty v_n = a)

thì xn quy tụ và(mathop lim limits_x o + infty x_n = a)

Chứng minh: cùng với mọi(varepsilon > 0) mang đến trước,

Vì (u_n o a), đề xuất (exists N_1)sao cho(forall n > N_1) thì(left| u_n m - a ight|

(Rightarrow a - varepsilon N_1)

Vì(v_n o a), nên(exists N_2)sao cho(forall n > N_2)thì(left| v_n m - a ight|

(Rightarrow a - varepsilon N_2)

Do đó(forall n > max left N_1,N_2 ight = N)thì(a - varepsilon

(eginarrayl Rightarrow left| x_n - a ight| N\ Rightarrow x_n o a endarray )

Ghi chú: Nếu trả sử thêm xn cũng hội tụ, lấy giới hạn ba vế của (*) thì ta có:

(eginarrayl a = mathop lim limits_x o + infty u_n le mathop lim limits_x o + infty x_n le mathop lim limits_x o + infty v_n = a\ Rightarrow mathop lim limits_x o + infty x_n = a endarray )

Ví dụ: Tìm(mathop lim limits_x o infty frac1nsin (n!))

Vì(0 le left| frac1nsin n! ight| le frac1n Rightarrow left| frac1nsin n! ight| o 0)

(Rightarrow frac1nsin n! o 0)

Trên đấy là nội dung bài xích giảng
Bài 1: định nghĩa và Sự hội tụ của dãy sốđược e
Lib tổng đúng theo lại nhằm giúp các bạn sinh viên gồm thêm bốn liệu tham khảo. Hy vọng đây sẽ là bốn liệu giúp các bạn nắm bắt nội dung bài bác học thuận lợi hơn.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

x

Welcome Back!

Login to your account below

Retrieve your password

Please enter your username or email address to reset your password.