Nguyên Lý Bolzano Weierstrass Để Chứng Minh Dãy Số Hội Tụ Của Dãy Số

Bài giảng Toán thời thượng Bài 1: quan niệm và Sự hội tụ của hàng số hỗ trợ các văn bản chính bao hàm khái niệm với sự hội tụ của dãy số của hàng số thực. Để nạm nội dung cụ thể bài giảng, mời các bạn cùng e
Lib tìm hiểu thêm nhé!

Ánh xạ f: N→ R

(n mapsto u_n = f(n)) được gọi là một dãy số thực.

Ký hiệu: (u_0,u_1,u_2,...,u_n,...hayleft u_n,n in N ight\,hay,left u_n ight\). Thời gian đó, n được hotline là chỉ số; un được hotline là số hạng tổng thể của dãy.

Ghi chú: Ta thường xét dãy số thực là ánh xạ từ bỏ N vào R.

Ví dụ:

2. Sự hội tụ của dãy số

Định nghĩa:

Dãy un hotline là quy tụ nếu tồn tai số(a in R)thỏa : “ (forall varepsilon > 0)cho trước, luôn luôn tồn trên số nguyên dương (N(varepsilon))sao mang lại (forall n > N(varepsilon ) Rightarrow left| u_n - a ight| ”

Khi đó ta nói un quy tụ về a và cam kết hiệu: un → a hay(mathop lim limits_n o infty u_n = a)

Nhận xét:

i) Viết (N(varepsilon)) tức là (N(varepsilon)) phụ thuộc vào vào(varepsilon, N(varepsilon)) rất có thể không là số nguyên cũng được.

Xem thêm: 10 mẫu váy đồng phục học sinh nữ tiểu học giá tốt, giảm giá đến 40%

(ii),,left| u_n - a ight|

(iii),,u_n o 0 Leftrightarrow left| u_n ight| o 0)

iv) Ta còn nói theo cách khác un hội tụ về a nếu với mọi khoảng mở V trọng tâm a ta đều có N0 sao cho(u_n in V,forall n > N_0) (nghĩa là với đa số (varepsilon) dương, luôn tồn trên số N0 làm sao cho (u_n in left( a - varepsilon ;a + varepsilon ight),forall n > N_0))

Ví dụ: chứng tỏ dãy (left frac1n ight\)hội tụ về 0

(forall varepsilon > 0), ta cần chứng minh tồn tại N0 sao cho:

(left| frac1n - 0 ight| với mọi n > N0

Với (varepsilon >0), theo đặc điểm Archimède thì(exists N_0:frac1N_0

Vậy cùng với n > N0 ta có(frac1n

Do đó(forall varepsilon > 0,exists N_0:n > N_0 Rightarrow left| frac1n - 0 ight|

Ví dụ: triệu chứng min un với(u_n = frac2n - 13n + 2)hội tụ về(frac23)

Ta có:(left| u_n - frac23 ight| = left| frac2n - 13n + 2 - frac23 ight| = left| frac6n - 3 - 6n - 43(3n + 2) ight| = frac73(3n + 2)

khi(n > frac7varepsilon = N_0)

Vậy(forall varepsilon > 0,exists N_0 = frac7varepsilon ), làm thế nào để cho với mọi n > N0

(Rightarrow left| u_n - frac23 ight|

Định nghĩa: hàng un hotline là bị chận trường hợp (exists K) sao cho

(left| u_n ight| le K,forall n)

Ví dụ:

un với(u_n = 2 + m sin^2frac1n). Ta có: (2 le u_n le 3,forall Rightarrow)dãyun bị chận.

un với(u_n = left( 1 - frac12 ight)left( 1 - frac13 ight)left( 1 - frac14 ight)....left( 1 - frac1n ight))

Ta có:(0 le u_n le 1 Rightarrow left| u_n ight| hàng un bị chận.

Ghi chú:

Mệnh đề

i) un hội tụ⇒un bị chận.

ii) mang sử ( u_n o a e 0). Thì(exists A > 0,exists N > 0) sao cho(left| u_n ight| > A,forall n > N)

Chứng minh:

Giả sử un→ a

Khi đó với(varepsilon = 1,exists N:n > N Rightarrow left| u_n - a ight|

(Rightarrow |u_nleft| = ight|u_n - a + m aleft| le ight|u_n - aleft| + ight|aleft| N m ( ight|u_nleft| { N))

Chọn(K = max m left left ight Rightarrow left u_n ight le K,forall n in N)

Ghi chú: Ta cũng rất có thể chọn

K=|u1| + |u2| + ... + |u
N|+ 1 +|a|

Giả sử (u_n o a e 0). Ta sẽ hội chứng minh:

(exists A > 0,exists N > 0:left| u_n ight| > A,forall n > N)

Với(varepsilon = fracleft2 > 0,exists N:n > N)ta có(left| u_n - a ight|

(Rightarrow - frac a ight2 N)

mà(left| u_n ight| = left| u_n - a + a ight| ge left| a ight| - left| u_n - a ight| > left| a ight| - frac a ight2 = frac a ight2forall n > N)

( Rightarrow exists A = frac2 > 0:left| u_n ight| > A,forall n > N)

Mệnh đề:

Nếu(u_n ge 0,forall n in N,mathop lim limits_x o infty u_n = a,thi,a ge 0)

Chứng minh (bằng phản chứng)

Giả sử a (varepsilon = - fraca2,exists N_1:n > N_1 Rightarrow left| u_n - a ight|

(Rightarrow u_n N_1)

⇒ mâu thuẫn với đưa thiết(u_n ge 0,forall n)

Ví dụ:(u_n = frac1n > 0,forall n in N)nhưng(mathop lim limits_n o infty frac1n = 0)

Mệnh đề (các phép toán về số lượng giới hạn của dãy):

Giả sử(mathop lim limits_n o + infty u_n = a) và (mathop lim limits_n o + infty v_n = b). Ta có:

(eginarrayl i),mathop lim limits_n o + infty left( u_n + v_n ight) = a + b\ ii),mathop lim limits_n o + infty u_nv_n = a.b\ iii),mathop lim limits_n o infty fracu_nv_n = fracab,(neu,,,b e 0)\ iv),mathop lim limits_n o + infty sqrt u_n = sqrt a ,,(neu,,u_n ge 0,forall n) endarray )

Chứng minh:

i) cùng với (varepsilon > 0) mang đến trước,

(eginarrayl u_n o a Rightarrow exists N_1:n > N_1:left| u_n - a ight| N_2:left| v_n - b ight|

Chọn N = max N1, N2

(eginarray*20l u_n - a + v_n - b\ { le left| u_n - a ight| + left| v_n - b ight|

(eginarrayl ii)|u_nv_n - ab| = |u_nv_n - av_n + av_n - ab|\ = |v_n(u_n - a) + a(vn - b)|\ = v_n(u_n - a)| + |a(v_n - b)|\ = |v_n||u_n - a| + |a||v_n - b|\ le M|u_n - a| + left| a ight|left| v_n - b ight| endarray)

(vì vn quy tụ nên việt nam bị chận vì M)

(le K m left| u_n - a ight| + Kleft| v_n - b ight|)

(với K = M + |a| hoặc K = max a )

Do đó:(forall varepsilon > 0,exists N_1:n > N_1:left| u_n - a ight|

(exists N_2:n > N_2:left| v_n - b ight|

(Rightarrow n > N = max left N_1,N_2 ight:left| u_nv_n - ab ight|

Do đó:(u_nv_n o ab)

(iii),fracu_nv_n = u_nfrac1v_n)

Do đó, ta chỉ việc chứng minh: nếu(v_n o b)thì(frac1v_n o frac1b(b e 0))

Mênh đề:

Nếu(left{ eginarrayl mathop lim limits_n o + infty u_n = a,mathop lim limits_n o + infty v_n = b\ u_n le v_n,forall n in N endarray ight. )thì a (mathop lim limits_x o + infty left( v_n - u_n ight) = b - a)

mà (v_n - u_n ge 0,,,forall n in N). Theo mệnh đề 5 ta suy ra:

(b - a ge 0 Rightarrow b ge a)

Ghi chú

Ví dụ:(frac3n^24n^2 + 1 > frac3n^24n^2 + 3)nhưng

(mathop lim limits_x o + infty frac3n^24n^2 + 1 = mathop lim limits_x o + infty frac3n^24n^2 + 3 = frac34)

Định lý (kẹp)

Giả sử(u_n le x_n le v_n,,forall n in N,(*))

và(mathop lim limits_x o + infty u_n = mathop lim limits_x o + infty v_n = a)

thì xn quy tụ và(mathop lim limits_x o + infty x_n = a)

Chứng minh: cùng với mọi(varepsilon > 0) mang đến trước,

Vì (u_n o a), đề xuất (exists N_1)sao cho(forall n > N_1) thì(left| u_n m - a ight|

(Rightarrow a - varepsilon N_1)

Vì(v_n o a), nên(exists N_2)sao cho(forall n > N_2)thì(left| v_n m - a ight|

(Rightarrow a - varepsilon N_2)

Do đó(forall n > max left N_1,N_2 ight = N)thì(a - varepsilon

(eginarrayl Rightarrow left| x_n - a ight| N\ Rightarrow x_n o a endarray )

Ghi chú: Nếu trả sử thêm xn cũng hội tụ, lấy giới hạn ba vế của (*) thì ta có:

(eginarrayl a = mathop lim limits_x o + infty u_n le mathop lim limits_x o + infty x_n le mathop lim limits_x o + infty v_n = a\ Rightarrow mathop lim limits_x o + infty x_n = a endarray )

Ví dụ: Tìm(mathop lim limits_x o infty frac1nsin (n!))

Vì(0 le left| frac1nsin n! ight| le frac1n Rightarrow left| frac1nsin n! ight| o 0)

(Rightarrow frac1nsin n! o 0)

Trên đấy là nội dung bài xích giảng
Bài 1: định nghĩa và Sự hội tụ của dãy sốđược e
Lib tổng đúng theo lại nhằm giúp các bạn sinh viên gồm thêm bốn liệu tham khảo. Hy vọng đây sẽ là bốn liệu giúp các bạn nắm bắt nội dung bài bác học thuận lợi hơn.