Download giáo trình đại số tuyến đường tính PDF ✓ Giáo trình đại số con đường tính đại học Bách Khoa, đại học Xây Dựng, đh Giao Thông Vận Tải, Đại học Vinh ✓ Giáo trình của đại số tuyến đường tính ✓ tệp tin PDF ✓ download xuống miễn mức giá đại số tuyến tính giáo trình links Google Drive.
Bạn đang xem: Đại số tuyến tính nguyễn hữu việt hưng pdf
Bạn vẫn xem: Đại số con đường tính nguyễn hữu việt hưng pdf
Bấm nhằm tải: Giáo trình đại số tuyến đường tính Đại học tập Bách Khoa tp. Hà nội - HUST
GIỚI THIỆU TÀI LIỆU
| Nhan đề: | Giáo trình đại số tuyến tính |
| Tác giả: | Đại học Bách Khoa thủ đô hà nội - HUST |
| Năm sản xuất | 2009 |
| Nhà xuất bản | Đại học tập Bách Khoa thủ đô - HUST |
| Tóm tắt: | Cuốn giáo trình đại số con đường tính Đại học Bách Khoa hà nội thủ đô - HUST hay giáo trình đại số con đường tính Bùi Xuân Diệu là tài liệu nhằm học tập môn đại số con đường tính. Văn bản giáo trình tóm tắt lý thuyết, những ví dụ, bài xích tập và lời giải về: tập hòa hợp - lô ghích - ánh xạ - số phức, ma trận - định thức - hệ phương trình, không gian véctơ, ánh xạ đường tính, dạng toàn phương - không gian euclide. |
Mục lục: | Chương 1 . Tập thích hợp - xúc tích - Ánh xạ - Số phức Chương 2 . Ma trận - Định thức - Hệ phương trình Chương 3 . Không khí vectơ Chương 4 . Ánh xạ con đường tính Chương 5 . Dạng toàn phương, không gian Euclide |
Giáo trình đại số đường tính Nguyễn Hữu Việt Hưng
XEM TRƯỚC 10 TRANG
TẢI FULL GIÁO TRÌNH
GIỚI THIỆU TÀI LIỆU
| Nhan đề: | Giáo trình đại số con đường tính |
| Tác giả: | Nguyễn Hữu Việt Hưng |
| Năm sản xuất | 1999 |
| Nhà xuất bản | |
| Tóm tắt: | Cuốn giáo trình đại số tuyến đường tính của người sáng tác Nguyễn Hữu Việt Hưng là giáo trình với sách xem thêm cho sinh viên và các nghiên cứu sinh các ngành khoa học tự nhiên và technology sinh học của những trường đh khoa học tự nhiên, đại học sư phạm, đại học kỹ thuật. Cuốn sách được trình bày cấu tạo gồm có phần lý thuyết giúp tín đồ học nắm kiến thức và tại từng chương đều phải sở hữu phần bài bác tập, từ đó giúp sinh viên có tác dụng tư duy trừu tượng xuất sắc hơn, có mục đích hướng tới một khía cạnh bằng kiến thức cao hơn về toán |
Mục lục: | Chương 0: loài kiến thức chuẩn chỉnh bị Chương 1: không gian vectơ Chương 2: Ma trận và ánh xạ tuyến tính Chương 3: Định thức với hệ phương trình con đường tính Chương 4: cấu tạo của trường đoản cú đồng cấu Chương 5: không khí vecto Euclid Chương 6: Dạng tuy vậy tuyến tính và dạng toàn phương Chương 7: Đại số đa tuyến tính |
Giáo trình đại số đường tính NXB Đại học Sư Phạm
XEM TRƯỚC 10 TRANG
TẢI FULL GIÁO TRÌNH
GIỚI THIỆU TÀI LIỆU
| Nhan đề: | Giáo trình đại số tuyến đường tính |
| Tác giả: | TS. Nguyễn Duy Thuận (chủ biên) |
| Năm sản xuất | 2003 |
| Nhà xuất bản | Nhà Xuất phiên bản Đại học Sư Phạm |
| Tóm tắt: | Giáo trình đại số con đường tính NXB Đại học tập Sư Phạm là giáo trình tiêu chuẩn chỉnh chung cho các trường cđ Sư phạm trong cả nước theo công tác 2002. Đối tượng sử dụng cuốn giáo trình này là sinh viên cùng giảng viên các các trường cao đẳng Sư phạm, gia sư THCS cần được bồi dưỡng để đạt trình độ chuẩn hoá. Cuốn sách cũng hoàn toàn có thể được dùng cho các trường Đại học và cđ khác và cho tất cả những ai hy vọng tự học môn học tập này, nó cung cấp cần thiết, đầy đủ, vững quà về Đại số tuyến đường tính. |
Mục lục: | Chương 1: Định thức Chương 2: không khí vecto Chương 3: Ánh xạ đường tính Chương 4: Hệ phương trình tuyến đường tính Chương 5: Ma trận Chương 6: Dạng song tuyến tính dạng toàn phương Chương 7: Quy hoạch con đường anh |
... Tương tự Các véc tơ sau chủ quyền tuyến tính hay dựa vào tuyến đường tính a e1 = (-1, -2, 1, 2), e2 = (0, -1, 2, 3), e3 = (1, 4, 1, 2), e4 = (-1, 0, 1, 3) Xét buộc ràng đường tính xe1 + ye2 + ze3 +te4 = ... Km = n+1 – (m+1) = n – m Hệ sở véc tơ xn, xn-1, …, xm+1 13 bài tập chương Ma trận ánh xạ tuyến đường tính Tính tích hai ma trận dễ Tính lũy quá sau cos φ - sin φ n sin φ = = sin φ 2cosφ sinφ cos ... = (2, 2, 5, 4), a4 = (2, 3, 4, 4) Dễ chứng minh (bằng tính toán với 6.a.) hai hệ tự do con đường tính C4 → bọn chúng sở C4 Tìm màn trình diễn tuyến đường tính qua ei Từ bao gồm ma trận gửi sở (cij) → công thức...
Xem thêm: 10+ dây đai an toàn 2 móc to, dây đai an toàn toàn thân 2 móc giảm xóc
... Lại kết cùng với hàm Maple: > LinearAlgebra
Schmidt>(); sử dụng Maplet giải tập đại số con đường tính bọn họ dùng Maplet nhằm giải tập đại số con đường tính chẳng qua Maplet cung ứng ... Hỗ trợ chúng ta dễ nhìn dụng nhằm giải tập đại số đường tính cách thuận lợi 7.1 Giải hệ phương trình đường tính cách thức Gauss trong đại số tuyến tính vấn đề giải hệ phương trình con đường tính toán thường giỏi ... TRỢ mang đến VIỆC GIẢI BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Maple có nhiều thư viện chuyên biệt cho lĩnh vực toán học tập (được call Package), phần tìm hiểu rõ thư viện Maple dùng để làm giải tập đại số tuyến đường tính (package...
... Bien soan cugn "BM tap dẻo so tuygn tinh" Cugn each dude phân tách lam tía chudng bao g6m nhUng van d6 Cd ban cna Dal so tuygn tinh: Dinh thfic va ma trail - Khong gian tuygn tinh, anh xa tuygn tinh, ... - Bei tap 35 D HtiOng dein hoac clap so 43 Chudng KHONG GIAN VECTO - ANH XA TUYEN TINH • PHUGNG TRINH TUYEN TINH 57 A - TOrn tat ly thuyeet 57 §1 Kh8ng gian vec to lớn 57 §2 Anh xa tuyeen tinh 61 ... Hudng dan (HD) hoac dap s6 (DS) Cac vi du va bai tap &roc chon be a mac an lớn trung binh den kh6, c6 nhUng bai tap mang tinh 1± thuygt va nhUng bai tap ran luyen ki nang nham gain sinh vien higu...
... I = 1, Tính K , J , 0 0 λ3 KJ, JK 0 b) Tính A , n > nguyên, v i A = 0 3 n bài 21 mang đến đa th c f(x) = 3x3 – 2x + Tính f(A) −2 A = −4 −5 bài 22 ... A 2kπ 2kπ + i sin , k , n ∈ ¢ Tính n n m m S = a0 + a1m + + an −1 , m ∈ ¥ bài xích 27 mang lại ak = cos bài bác 28 bài 29 bài bác 30 bài 31 a 0 mang lại A = b a , 0 a a 0 cho A = a 0 a ... N A bài bác 23 mang đến A m t ma tr n vuông th c Ch ng minh r ng n u detA 0, E ma tr n đơn v Bài...
... 104 Tài liệu tìm hiểu thêm Bộ môn Toán - Khoa Sư phạm - ĐHAG 113 Đại số đường tính Trang: Phần I Lý thuyết tập Đại số đường tính bộ môn Toán - Khoa Sư phạm - ĐHAG Trang: Chương Định thức Định ... ĐHAG Đại số con đường tính Trang: 35 Chương Hạng ma trận với định thức, ma trận (đặc biệt hạng ma trận) nguyên tắc để giải toán hệ phương trình tuyến đường tính thích hợp đại số tuyến đường tính nói tầm thường bài bác ... 0, x = ±1 bài bác Tập Tính α β γ β γ α γ α β α, β, γ, nghiệm phương trình: x3 +px+q = Giải phương trình: 1 1 Đại số tuyến đường tính x x2 x3 =0 27 16 64 cỗ môn Toán - Khoa Sư phạm - ĐHAG bài bác Tập Trang:...
Nghiên cứu vớt sự biến đổi một số cytokin ở người bị bệnh xơ cứng tị nạnh hệ thống
Báo cáo quy trình mua hàng CT CP technology NPVNghiên cứu giúp sự sinh ra lớp bảo vệ và kỹ năng chống làm mòn của thép bền thời tiết trong đk khí hậu nhiệt đới gió mùa việt nam
Nghiên cứu tổ chức chạy tàu hàng thắt chặt và cố định theo thời hạn trên đường sắt việt nam
Biện pháp làm chủ hoạt đụng dạy hát xoan trong trường trung học đại lý huyện lâm thao, phú thọ
Giáo án Sinh học tập 11 bài bác 13: thực hành phát hiện tại diệp lục cùng carôtenôit
Nghiên cứu, xây dựng phần mềm smartscan và vận dụng trong đảm bảo mạng laptop chuyên dùng
Nghiên cứu về mô hình thống kê học sâu và vận dụng trong nhận dạng chữ viết tay hạn chếKiểm liền kề việc giải quyết tố giác, tin báo về tù hãm và ý kiến đề nghị khởi tố theo quy định tố tụng hình sự việt nam từ thực tiễn tỉnh Bình Định (Luận văn thạc sĩ)Giáo án Sinh học tập 11 bài xích 15: hấp thụ ở hễ vậtchuong 1 tong quan tiền quan tri rui ro
Nguyên tắc phân hóa nhiệm vụ hình sự đối với người dưới 18 tuổi lầm lỗi trong quy định hình sự vn (Luận văn thạc sĩ)Trách nhiệm của người sử dụng lao động đối với lao động con gái theo pháp luật lao động vn từ thực tiễn các khu công nghiệp tại tp.hồ chí minh (Luận văn thạc sĩ)HIỆU QUẢ CỦA MÔ HÌNH XỬ LÝ BÙN HOẠT TÍNH BẰNG KIỀMMÔN TRUYỀN THÔNG marketing TÍCH HỢPTÁI CHẾ NHỰA VÀ QUẢN LÝ CHẤT THẢI Ở HOA KỲQUẢN LÝ VÀ TÁI CHẾ NHỰA Ở HOA KỲ Tai lieu Mục lục bài viết Tìm kiếm new Luận Văn Tài liệu new Chủ đề tài liệu mới đăng võ thuật với cối xay gió ngữ văn 8 đã có lần em cùng phụ huynh đi thăm mộ người thân trong gia đình trong thời điểm dịp lễ tết đặc điểm chung và vai trò của ngành ruột vùng thuyết minh về bé trâu lập dàn ý bài xích văn trường đoản cú sự lớp 10 giải bài xích tập đồ vật lý 8 chuyện cũ trong che chúa trịnh giải bài tập vật dụng lý 9 soạn văn tế nghĩa sĩ phải giuộc soạn bài bác cô bé xíu bán diêm giai bai tap vat ly 8 viet bai tap lam van so 2 lop 9 thuyet minh ve nhỏ trau bài ca ngắn đi trên kho bãi cát sự phát triển của từ bỏ vựng tiếp theo sau ôn tập văn học tập trung đại vn lớp 11 bài tập phần trăm thống kê có giải mã bai viet so 2 lop 9 de 1 soan bai teo be ban diem dại van lop 8 phân tích bài bác thơ từ tình 2
Ebok Đại số đường tính vì chưng Nguyễn Hữu Việt Hưng biên soạn nhằm mục tiêu mục đích hỗ trợ cho các bạn những kỹ năng về không gian vector; ma trận và ánh xạ con đường tính; định thức với hệ phương trình đường tính; cấu trúc của trường đoản cú đồng cấu; không gian vecto Euclid; dạng tuy nhiên tuyến tính và dạng toàn phương; đại số đa đường tính.
MU . C LU .CMu.c lu.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1L`o.i n´oi d¯ˆ `au . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Chu.o.ng 0: Kiˆe´n th´ u.c chuˆa’n bi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 §1. Tˆa.p ho..p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 §2. Quan hˆe. V`a Anh ´ xa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 §3. Lu..c lu.o..ng cu’a tˆa.p ho..p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 §4. Nh´om, V`anh v`a Tru.`o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 §5. Tru.`o.ng sˆo´ thu..c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 §6. Tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 §7. D u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 - a th´ B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Chu.o.ng I: Khˆong gian v´ecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 §1. Kh´ai niˆe.m khˆong gian v´ecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 §2. D - ˆo.c lˆa.p tuyˆe´n t´ınh v`a phu. Thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 §3. Co. So’. V`a sˆo´ chiˆ`eu cu’a khˆong gian v´ecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 §4. Khˆong gian nhỏ - Ha.ng cu’a mˆo.t hˆe. V´ecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 §5. Tˆo’ng v`a tˆo’ng tru..c tiˆe´p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 §6. Khˆong gian thu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Chu.o.ng II: Ma trˆa.n v`a Anh ´ xa. Tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 §1. Ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 §2. Anh ´ xa. Tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 §3. Ha.t nhˆan v`a a’nh cu’a d¯ˆ `ong cˆa´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 §4. Khˆong gian v´ecto. D¯ˆo´i ngˆa˜u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 1Chu.o.ng III: D u.c v`a hˆe. Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 - i.nh th´ §1. C´ac ph´ep thˆe´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 §2. D - .inh th´u.c cu’a ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 §3. Anh ´ xa. D¯a tuyˆe´n t´ınh vậy phiˆen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 §4. D - i.nh th´u.c cu’a tu.. D¯ˆ `ong cˆa´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 §5. C´ac t´ınh chˆa´t sˆau ho.n cu’a d¯i.nh th´ u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 §6. D - i.nh th´u.c v`a ha.ng cu’a ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 §7. Hˆe. Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh - Quy t˘a´c Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 §8. Hˆe. Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh - Phu.o.ng ph´ap khu’. Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 139 uc nghiˆe.m cu’a hˆe. Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 §9. Cˆa´u tr´ B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Chu.o.ng IV: Cˆa´u tr´ uc cu’a tu.. D¯ˆ `ong cˆa´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 §1. V´ecto. Riˆeng v`a gi´a tri. Riˆeng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 §2. Khˆong gian nhỏ ˆo’n d¯i.nh cu’a c´ac tu.. D¯ˆ `ong cˆa´u thu..c v`a ph´ u.c . . . . . . . . . . . 161 §3. Tu.. D¯ˆ `ong cˆa´u ch´eo ho´a d¯u.o..c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 §4. Tu.. D¯ˆ `ong cˆa´u lu˜ y linh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 §5. Ma trˆa.n chuˆa’n Jordan cu’a tu.. D¯ˆ `ong cˆa´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Chu.o.ng V: Khˆong gian v´ecto. Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 §1. Khˆong gian v´ecto. Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 §2. Anh ´ xa. Tru..c giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 §3. Ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i liˆen ho..p v`a ph´ep biˆe´n d¯ˆo’i d¯ˆo´i x´ u.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 §4. V`ai n´et vˆ `e khˆong gian Unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Chu.o.ng VI: Da.ng song tuyˆe´n t´ınh v`a da.ng to`an phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 §1. Kh´ai niˆe.m da.ng tuy vậy tuyˆe´n t´ınh v`a da.ng to`an phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . 234 - u.a da.ng to`an phu.o.ng vˆ §2. D `e da.ng ch´ınh t˘a´c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 2 §3. Ha.ng v`a ha.ch cu’a da.ng to`an phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 §4. Chı’ sˆo´ qu´an t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 §5. Da.ng to`an phu.o.ng x´ac d¯i.nh dˆa´u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254Chu.o.ng VII: D- a.i sˆo´ d¯a tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 §1. T´ıch tenxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 §2. C´ac t´ınh chˆa´t co. Ba’n cu’a t´ıch tenxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 - a.i sˆo´ tenxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 §3. D §4. D u.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 - a.i sˆo´ d¯ˆo´i x´ §5. D - a.i sˆo´ ngo`ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 B`ai tˆa.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290T`ai liˆe.u tham kha’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 3 `.I NOI LO ´ D-` ˆU A Theo d`ong li.ch su’., mˆon -Da.i sˆ o´ tuyˆe´n t´ınh kho’.i d¯ˆ `au v´o.i viˆe.c gia’i v`a biˆe.n luˆa.nc´ac hˆe. Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh. Vˆ `e sau, d¯ˆe’ c´o thˆe’ hiˆe’u thˆa´u d¯´ao cˆa´u tr´uc cu’a tˆa.pnghiˆe.m v`a d¯iˆ`eu kiˆe.n d¯ˆe’ mˆo.t hˆe. Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh c´o nghiˆe.m, ngu.`o.i ta xˆaydu..ng nh˜u.ng kh´ai niˆe.m tr`u.u tu.o..ng ho.n nhu. Khˆong gian v´ecto. V`a ´anh xa. Tuyˆe´n t´ınh.Ngu.`o.i ta c˜ ung c´o nhu cˆ `au kha’o s´at c´ac khˆong gian v´o.i nhiˆ `eu thuˆo.c t´ınh h`ınh ho.cho.n, trong d¯´o c´o thˆe’ d¯o d¯ˆo. D`ai cu’a v´ecto. V`a g´oc gi˜ u.a hai v´ecto.. Xa ho.n, hu.´o.ngnghiˆen c´u.u n`ay dˆa˜n t´o.i b`ai to´an phˆan loa.i c´ac da.ng to`an phu.o.ng, v`a tˆo’ng qu´at ho.nphˆan loa.i c´ac tenxo., du.´o.i t´ac d¯ˆo.ng cu’a mˆo.t nh´om cˆa´u tr´uc n`ao d¯´o. Ng`ay nay, D - a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh d¯u.o..c u ´.ng du.ng v`ao h`ang loa.t l˜ınh vu..c kh´ac nhau,t`u. Gia’i t´ıch t´o.i H`ınh ho.c vi phˆan v`a L´ u. Co. Ho.c, Vˆa.t l´ y thuyˆe´t biˆe’u diˆ˜en nh´om, t` yt´o.i K˜ y thuˆa.t... V`ı thˆe´, n´o d¯˜a tro’. Th`anh mˆo.t mˆon ho.c co. So’. Mang lại viˆe.c d¯`ao ta.o c´acgi´ao viˆen trung ho.c, c´ac chuyˆen gia bˆa.c d¯a.i ho.c v`a trˆen d¯a.i ho.c thuˆo.c c´ac chuyˆenng`anh khoa ho.c co. Ba’n v`a cˆong nghˆe. Vào tˆa´t ca’ c´ac tru.`o.ng d¯a.i ho.c. - ˜a c´o h`ang tr˘am cuˆo´n s´ach vˆ D - a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh d¯u.o..c xuˆa´t ba’n trˆen to`an thˆe´ `e Dgi´o.i. Ch´ ung tˆoi nhˆa.n thˆa´y c´o hai khuynh hu.´o.ng chu’ yˆe´u vào viˆe.c tr`ınh b`ay mˆonho.c n`ay. Khuynh hu.´o.ng th´ u. Nhˆa´t b˘a´t d¯ˆ`au v´o.i c´ac kh´ai niˆe.m ma trˆa.n, d¯i.nh th´ u.c v`a hˆe.phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh, rˆ `oi d¯i t´o.i c´ac kh´ai niˆe.m tr`u.u tu.o..ng ho.n nhu. Khˆong gianv´ecto. V`a ´anh xa. Tuyˆe´n t´ınh. Khuynh hu.´o.ng n`ay dˆ˜e tiˆe´p thu. Nhu.ng n´o khˆong choph´ep tr`ınh b`ay l´ y thuyˆe´t vˆ `e d¯i.nh th´ u.c v`a hˆe. Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh b˘`a ng mˆo.tngˆon ng˜ u. Cˆo d¯o.ng v`a d¯e.p d¯˜e. Khuynh hu.´o.ng th´ u. Hai tr`ınh b`ay c´ac kh´ai niˆe.m khˆong gian v´ecto. V`a ´anh xa.tuyˆe´n t´ınh tru.´o.c, rˆ`oi ´ap du.ng v`ao kha’o s´at d¯i.nh th´ u.c v`a hˆe. Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n .t´ınh. U u d¯iˆe’m cu’a phu.o.ng ph´ap n`ay l`a d¯`ˆe cao ve’ d¯e.p trong t´ınh nhˆ a´t qu´ an vˆ`e cˆa´utr´uc cu’a c´ac d¯ˆo´i tu.o..ng d¯u.o..c kha’o s´at. Nhu.o..c d¯iˆe’m cu’a n´o l`a lúc x´et t´ınh d¯ˆo.c lˆa.p 4tuyˆe´n t´ınh v`a phu. Thuˆo.c tuyˆe´n t´ınh, thˆa.t ra ngu.`o.i ta d¯˜a pha’i d¯ˆo´i m˘a.t v´o.i viˆe.c gia’ihˆe. Phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh. C´ach tr`ınh b`ay n`ao c˜ y cu’a n´o. Theo tởm nghiˆe.m cu’a ch´ ung c´o c´ai l´ ung tˆoi th`ınˆen cho.n c´ach tr`ınh b`ay th´ u. Hai đến c´ac sinh viˆen c´o kha’ n˘ang tu. Duy tr` u.u tu.o..ngtˆo´t ho.n v`a c´o mu.c d¯´ıch hu.´o.ng t´o.i mˆo.t m˘a.t b˘`a ng kiˆe´n th´ u.c cao ho.n vˆ `e to´an. Cuˆo´n s´ach n`ay d¯u.o..c ch´ ung tˆoi biˆen soa.n nh˘`a m mu.c d¯´ıch l`am gi´ao tr`ınh v`a s´ achtham kha’ o mang lại sinh viˆen, sinh viˆen cao ho.c v`a nghiˆen c´ u.u sinh c´ac ng`anh khoa ho.ctu.. Nhiˆen v`a cˆong nghˆe. Cu’a c´ac tru.`o.ng d¯a.i ho.c khoa ho.c tu.. Nhiˆen, d¯a.i ho.c su. Pha.mv`a d¯a.i ho.c k˜ y thuˆa.t. Cuˆo´n s´ach d¯u.o..c viˆe´t trˆen co. So’. C´ac b`ai gia’ng vˆ - a.i sˆo´ tuyˆe´n `e Dt´ınh cu’a tˆoi vào nhiˆ `eu n˘am cho sinh viˆen mˆo.t sˆo´ khoa cu’a tru.`o.ng D - a.i ho.c Tˆo’ngho..p (nay l`a D - a.i ho.c khoa ho.c Tu.. Nhiˆen) H`a Nˆo.i v`a cu’a mˆo.t sˆo´ tru.`o.ng d¯a.i ho.c su.pha.m. D - ˘a.c biˆe.t, tˆoi d¯˜a gia’ng gi´ao tr`ınh n`ay trong 3 n˘am ho.c 1997-1998, 1998-1999,1999-2000 mang đến sinh viˆen c´ac ng`anh To´an, Co., L´ y, Ho´a, Sinh, D - i.a chˆa´t, Kh´ı tu.o..ngthuy’ v˘an... Cu’a Chu.o.ng tr`ınh d¯`ao ta.o Cu’. Nhˆan khoa ho.c t`ai n˘ang, D - a.i ho.c khoaho.c Tu.. Nhiˆen H`a Nˆo.i. Ch´ ung tˆoi cho.n khuynh hu.´o.ng th´ u. Nhì trong nhì khuynh hu.´o.ng tr`ınh b`ay d¯˜an´oi o’. Trˆen. Tˆa´t nhiˆen, v´o.i d¯ˆoi ch´ ut cố kỉnh d¯ˆo’i, cuˆo´n s´ach n`ay c´o thˆe’ d`ung d¯ˆe’ gia’ng- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh theo khuynh hu.´o.ng tr`ınh b`ay th´D u. Nhˆa´t. Tu. Tu.o’.ng cˆa´u tr´uc d¯u.o..c ch´ung tˆoi nhˆa´n ma.nh nhu. Mˆo.t ma.ch ch´ınh cu’a cuˆo´ns´ach. Mˆo˜i d¯ˆo´i tu.o..ng d¯ˆ `eu d¯u.o..c nghiˆen c´ u.u trong mˆo´i tu.o.ng quan lại v´o.i nh´om c´ac uc cu’a d¯ˆo´i tu.o..ng d¯´o: Kha’o s´at khˆong gian v´ecto. G˘a´nph´ep biˆe´n d¯ˆo’i ba’o to`an cˆa´u tr´ `en v´o.i nh´om tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at GL(n, K), khˆong gian v´ecto. Euclid v`a khˆongliˆgian v´ecto. Euclid d¯i.nh hu.´o.ng g˘a´n liˆ `en v´o.i nh´om tru..c giao O(n) v`a nh´om tru..c giaod¯˘a.c biˆe.t SO(n), khˆong gian Unita g˘a´n liˆ `en v´o.i nh´om unita U (n)... Kˆe´t qua’ phˆanloa.i c´ac da.ng to`an phu.o.ng phu. Thuˆo.c c˘an ba’n v`ao viˆe.c qu´a tr`ınh phˆan loa.i d¯u.o..ctiˆe´n h`anh du.´o.i t´ac d¯ˆo.ng cu’a nh´om n`ao (tuyˆe´n t´ınh tˆo’ng qu´at, tru..c giao...). Theo tởm nghiˆe.m, ch´ ung tˆoi khˆong thˆe’ gia’ng hˆe´t nˆo.i dung cu’a cuˆo´n s´ach n`aytrong mˆo.t gi´ao tr`ınh tiˆeu chuˆa’n vˆ - a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh mang đến sinh viˆen c´ac tru.`o.ng d¯a.i `e D 5ho.c, tức thì ca’ d¯ˆo´i v´o.i sinh viˆen chuyˆen ng`anh to´an. C´ac chu’ d¯ˆ `e vˆ `e da.ng chuˆ a’n t˘a´c
Jordan cu’ a tu.. D¯`ˆong cˆa´u, da.ng ch´ınh t˘ a´c cu’ a tu.. D¯`ˆ ong cˆ a´u tru..c giao, viˆe.c d¯u.a d¯`ˆ ongth`o.i nhị da.ng to`an phu.o.ng vˆ `e da.ng ch´ınh t˘a´c, d¯a.i sˆ o´ tenxo., d¯a.i sˆo´ d¯ˆ u.ng v` o´i x´ a d¯a.i o´ ngo`ai... Nˆen d`sˆ ung d¯ˆe’ gia’ng bỏ ra tiˆe´t mang đến c´ac sinh viˆen cao ho.c v` a nghiˆen c´ u.u sinhc´ac ng`anh To´an, Co. Ho.c v`a Vˆa.t l´ y. Ch´ung tˆoi cˆo´ g˘a´ng b`ınh luˆa.n y´ ngh˜ıa cu’a c´ac kh´ai niˆe.m v`a u.u khuyˆe´t d¯iˆe’mcu’a c´ac phu.o.ng ph´ap d¯u.o..c tr`ınh b`ay. Cuˆo´i mˆo˜i chu.o.ng d¯ˆ `eu c´o phˆ `an b`ai tˆa.p,d¯u.o..c tuyˆe’n cho.n chu’ yˆe´u t` u. Cuˆo´n s´ach nˆo’i tiˆe´ng “B`ai tˆa.p D - a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh” cu’a
I. V. Proskuryakov. D u.ng kiˆe´n th´ - ˆe’ n˘a´m v˜ u.c, d¯ˆo.c gia’ nˆen d¯o.c rˆa´t k˜ y phˆ`an l´ y thuyˆe´ttru.´o.c khi l`am c`ang nhiˆ `eu c`ang tˆo´t c´ac b`ai tˆa.p cuˆo´i mˆo˜i chu.o.ng. Viˆe.c su’. Du.ng cuˆo´n s´ach n`ay s˜e d¯˘a.c biˆe.t thuˆa.n lo..i nˆe´u ngu.`o.i d¯o.c coi n´o l`a phˆ `anmˆo.t cu’a mˆo.t bˆo. S´ach m`a phˆ `an nhị cu’a n´o l`a cuˆo´n -Da.i sˆ o´ d¯a.i cu.o.ng cu’a c`ung t´acgia’, vì Nh`a xuˆa´t ba’n Gi´ao du.c H`a Nˆo.i ˆa´n h`anh n˘am 1998 v`a t´ai ba’n n˘am 1999. T´ac gia’ chˆan th`anh ca’m o.n Ban d¯iˆ`eu h`anh Chu.o.ng tr`ınh d¯`ao ta.o Cu’. Nhˆan khoaho.c t`ai n˘ang, D- a.i ho.c Khoa ho.c tu.. Nhiˆen H`a Nˆo.i, d¯˘a.c biˆe.t l`a Gi´ao su. D - `am Trung- `ˆon v`a Gi´ao su. Nguyˆ˜en Duy Tiˆe´n, d¯˜a ta.o mo.i d¯iˆD `eu kiˆe.n thuˆa.n lo..i d¯ˆe’ t´ac gia’ gia’ngda.y cho sinh viˆen cu’a Chu.o.ng tr`ınh trong cha n˘am qua v`a viˆe´t cuˆo´n s´ach n`ay trˆenco. So’. Nh˜u.ng b`ai gia’ng d¯´o. T´ac gia’ ao ước nhˆa.n d¯u.o..c su.. Chı’ gi´ao cu’a c´ac d¯ˆo.c gia’ v`a d¯ˆ `ong nghiˆe.p vˆ u.ng `e nh˜thiˆe´u s´ot kh´o tr´anh kho’i cu’a cuˆo´n s´ach. H`a Nˆo.i, 12/1999 6 Chu.o.ng 0 ´.C CHUA ˆ´N THU KIE ˆ’ N BI. Nhiˆe.m vu. Cu’a chu.o.ng n`ay l`a tr`ınh b`ay du.´o.i da.ng gia’n lu.o..c nhˆa´t mˆo.t sˆo´ kiˆe´nth´u.c chuˆa’n bi. Mang lại phˆ `an c`on la.i cu’a cuˆo´n s´ach: Tˆa.p ho..p, quan hˆe., ´anh xa., nh´om,v`anh, tru.`o.ng, d¯a th´ u.c... Tru.`o.ng sˆo´ thu..c s˜e d¯u.o..c xˆay du..ng ch˘a.t ch˜e o’. §5. Nhu.ngv`ı c´ac t´ınh chˆa´t cu’a n´o rˆa´t quen thuˆo.c v´o.i nh˜ u.ng ai d¯˜a ho.c qua chu.o.ng tr`ınh trungho.c phˆo’ thˆong, cho nˆen ch´ ung ta vˆa˜n n´oi t´o.i tru.`o.ng n`ay vào c´ac v´ı du. O’. C´ac tiˆe´t§1 - §4.1 a.p ho..p TˆTrong tiˆe´t n`ay, ch´ ung ta tr`ınh b`ay vˆ `e tˆa.p ho..p theo quan liêu d¯iˆe’m cu’a “L´y thuyˆe´t tˆa.pho..p ngˆay tho.”. Cu. Thˆe’, tˆa.p ho..p l`a mˆo.t kh´ai niˆe.m “nguyˆen thuy’”, khˆong d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa, m`ad¯u.o..c hiˆe’u mˆo.t c´ach tru..c gi´ac nhu. Sau: Mˆo.t tˆ a.p ho..p l`a mˆo.t su.. Quˆ `an tu. C´ac d¯ˆo´itu.o..ng c´o c` ung mˆo.t thuˆo.c t´ınh n`ao d¯´o; nh˜ u.ng d¯ˆo´i tu.o..ng n`ay d¯u.o..c go.i l`a c´ac phˆ `antu’. Cu’a tˆa.p ho..p d¯´o. (Tˆa´t nhiˆen, mˆo ta’ n´oi trˆen khˆong pha’i l`a mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa cu’atˆa.p ho..p, n´o chı’ diˆ˜en d¯a.t kh´ai niˆe.m tˆa.p ho..p qua mˆo.t kh´ai niˆe.m c´o ve’ gˆ `an g˜ ui ho.nl`a “quˆ `an tu.”. Mặc dù vˆa.y, ba’n thˆan kh´ai niˆe.m quˆ `an tu. La.i chu.a d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa.) Ngu.`o.i ta c˜ ung thu.`o.ng go.i t˘a´t tˆa.p ho..p l`a “tˆa.p”. Ung ta c´o thˆe’ x´et tˆa.p ho..p c´ac sinh viˆen cu’a mˆo.t tru.`o.ng - ˆe’ c´o mˆo.t sˆo´ v´ı du., ch´ Dd¯a.i ho.c, tˆa.p ho..p c´ac xe ta’i cu’a mˆo.t cˆong ty, tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ nguyˆen tˆo´ ... C´ac tˆa.p ho..p thu.`o.ng d¯u.o..c k´ y hiˆe.u bo’.i c´ac ch˜u. In hoa: A, B, C, ..., X, Y, Z...C´ac phˆ `an tu’. Cu’a mˆo.t tˆa.p ho..p thu.`o.ng d¯u.o..c k´ y hi.ˆeu bo’.i c´ac ch˜ u. In thu.`o.ng: `an tu’. Cu’a tˆa.p ho..p X, ta viˆe´t x ∈ X v`a d¯o.c l`a - ˆe’ n´oi x l`a mˆo.t phˆa, b, c, ..., x, y, z... D 7 `an tu’. Cu’a X, ta viˆe´t y 6∈ X, v`a d¯o.c l`a“x thuˆo.c X”. Tr´ai la.i, d¯ˆe’ n´oi y khˆong l`a phˆ“y khˆong thuˆo.c X”. - ˆe’ x´ac d¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho..p, ngu.`o.i ta c´o thˆe’ liˆe.t kˆe tˆa´t ca’ c´ac phˆ D `an tu’. Cu’a n´o.Ch˘a’ng ha.n, A = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Ngu.`o.i ta c˜ung c´o thˆe’ x´ac d¯i.nh mˆo.t tˆa.p ho..p bo’.i mˆo.t t´ınh chˆa´t d¯˘a.c tru.ng P(x) n`ao `an tu’. Cu’a n´o. Tˆa.p ho..p X c´ac phˆd¯´o cu’a c´ac phˆ `an tu’. X c´o t´ınh chˆa´t P(x) d¯u.o..c k´ yhiˆe.u l`a X = x,ho˘a.c l`a X = x : P(x).V´ı du.: N = x l`a sˆo´ tu.. Nhiˆen, Z = x, u.u ty’}, Q = {x| x l`a sˆo´ h˜ R = x. Nˆe´u mo.i phˆ `an tu’. Cu’a tˆa.p ho..p A c˜ `an tu’. Cu’a tˆa.p ho..p X th`ı ta n´oi ung l`a mˆo.t phˆA l`a mˆo.t tˆa.p ho..p bé cu’a X, v`a viˆe´t A ⊂ X. Tˆa.p nhỏ A gˆ `om c´ac phˆ `an tu’. X cu’a Xc´o t´ınh chˆa´t P(x) d¯u.o..c k´ y hiˆe.u l`a A = P(x). Nhì tˆa.p ho..p X v`a Y d¯u.o..c go.i l`a b˘ `a ng nhau nˆe´u mˆo˜i phˆ `an tu’. Cu’a tˆa.p ho..p n`ayc˜ ung l`a mˆo.t phˆ`an tu’. Cu’a tˆa.p ho..p tê v`a ngu.o..c la.i, t´ u.c l`a X ⊂ Y v`a Y ⊂ X. Khid¯´o ta viˆe´t X = Y . Tˆa.p ho..p khˆong ch´ u.a mˆo.t phˆ`an tu’. N`ao ca’ d¯u.o..c k´ y hiˆe.u bo’.i ∅, v`a d¯u.o..c go.i l`atˆ a.p rˆ o˜ng. Ta quy u.´o.c r˘`a ng ∅ l`a tˆa.p bé cu’a mo.i tˆa.p ho..p. Tˆa.p ho..p rˆo˜ng rˆa´t tiˆe.nlo..i, n´o d¯´ong vai tr`o nhu. Sˆo´ khˆong trong lúc l`am to´an v´o.i c´ac tˆa.p ho..p. 8 C´ac ph´ep to´an ho..p, giao v`a hiˆe.u cu’a nhì tˆa.p ho..p d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. Sau. Mang đến c´ac tˆa.p ho..p A v`a B. Ho..p cu’a A v`a B d¯u.o..c k´ y hiˆe.u bo’.i A ∪ B v`a d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. Sau A ∪ B = x.Giao cu’a A v`a B d¯u.o..c k´ y hiˆe.u bo’.i A ∩ B v`a d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. Sau A ∩ B = x ∈ A v`a x ∈ B.Hiˆe.u cu’a A v`a B d¯u.o..c k´ y hiˆe.u bo’.i A B v`a d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. Sau A B = x.Nˆe´u B ⊂ A th`ı AB d¯u.o..c go.i l`a phˆ u cu’a B vào A, v`a d¯u.o..c k´ `an b` y hiˆe.u l`a CA (B). C´ac ph´ep to´an ho..p, giao v`a hiˆe.u c´o c´ac t´ınh chˆa´t so. Cˆa´p sau d¯ˆay: Kˆe´t ho..p: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Giao ho´an: A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A. Phˆan phˆo´i: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). U.c De Morgan: X (A ∪ B) = (X A) ∩ (X B), Cˆong th´ X (A ∩ B) = (X A) ∪ (X B). Gia’ su’. Ai l`a mˆo.t tˆa.p ho..p v´o.i mˆo˜i i thuˆo.c mˆo.t tˆa.p chı’ sˆo´ I (c´o thˆe’ h˜ u.u ha.n hayvˆo ha.n). Lúc d¯´o, ho..p v`a giao cu’a ho. Tˆa.p ho..p Ai i∈I d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. Sau: < Ai = x ∈ Ai v´o.i mˆo.t i n`ao d¯´o vào I, i∈I Ai = x. I∈I u.c De Morgan:Ta c´o da.ng tˆo’ng qu´at cu’a cˆong th´ < X ( Ai ) = (X Ai ), i∈I i∈I < X ( Ai ) = (X Ai ). I∈I i∈I 9 Viˆe.c su’. Du.ng qu´a rˆo.ng r˜ai kh´ai niˆe.m tˆa.p ho..p d¯˜a dˆa˜n t´o.i mˆo.t sˆo´ nghi.ch l´ y. Mˆo.ttrong sˆo´ d¯´o l`a nghi.ch l´ y Cantor sau d¯ˆay. Ta n´oi tˆa.p ho..p X l`a b`ınh thu.`o.ng nˆe´u X 6∈ X. X´et tˆa.p ho..p X = X.Nˆe´u X ∈ X th`ı theo d¯i.nh ngh˜ıa cu’a X , n´o l`a mˆo.t tˆa.p b`ınh thu.`o.ng. Vì d¯´o, theod¯i.nh ngh˜ıa tˆa.p b`ınh thu.`o.ng, X 6∈ X . Tr´ai la.i, nˆe´u X 6∈ X , th`ı X l`a mˆo.t tˆa.p khˆongb`ınh thu.`o.ng, v`a vị d¯´o X ∈ X . Ca’ hai tru.`o.ng ho..p d¯ˆ `eu dˆa˜n t´o.i mˆau thuˆa˜n. U.ng nghi.ch l´ - ˆe’ tr´anh nh˜ D y loa.i nhu. Vˆa.y, ngu.`o.i ta s˜e khˆong d` ung kh´ai niˆe.m tˆa.pho..p d¯ˆe’ chı’ “nh˜u.ng thu..c thˆe’ qu´a l´o.n”. Ta s˜e n´oi “l´o.p tˆ a.p ho..p”, ch´ a´t ca’ c´ac tˆ u.khˆong n´oi “tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac tˆ a.p ho..p”. Theo quan lại niˆe.m n`ay X chı’ l`a mˆo.t l´o.p ch´ u.khˆong l`a mˆo.t tˆa.p ho..p. V`ı thˆe´, ta tr´anh d¯u.o..c nghi.ch l´ y n´oi trˆen. Phˆ`an c`on la.i cu’a tiˆe´t n`ay d¯u.o..c d`anh mang lại viˆe.c tr`ınh b`ay so. Lu.o..c vˆ `e lu.o..ng t` u. Phˆo’biˆe´n v`a lu.o..ng t`u. Tˆ `on ta.i. Ta thu.`o.ng cˆ `an pha’i ph´at biˆe’u nh˜ u.ng mˆe.nh d¯ˆ `e c´o da.ng: “Mo.i phˆ `an tu’. X cu’ a tˆa.pho..p X d¯`ˆeu c´o t´ınh chˆa´t P(x)”. Ngu.`o.i ta quy u.´o.c k´ `e d¯´o nhu. Sau: y hiˆe.u mˆe.nh d¯ˆ ∀x ∈ X, P(x). Y hiˆe.u trˆen d¯u.o..c d¯o.c l`a “V´o.i mo.i x thuˆo.c X, P(x)”.D˜ay k´ K´y hiˆe.u ∀ d¯u.o..c go.i l`a lu.o..ng t`u. Phˆo’ biˆe´n. Tu.o.ng tu.., ta c˜ ung xuất xắc g˘a.p c´ac mˆe.nh d¯ˆ `e c´o da.ng: “Tˆ`on ta.i mˆ `an tu’. X cu’ a o.t phˆX c´o t´ınh chˆa´t P(x)”. Mˆe.nh d¯ˆ `e n`ay d¯u.o..c quy u.´o.c k´y hiˆe.u nhu. Sau: ∃x ∈ X, P(x).D˜ay k´y hiˆe.u d¯´o d¯u.o..c d¯o.c l`a “Tˆ `on ta.i mˆ o.t x thuˆo.c X, P(x)”. K´ y hiˆe.u ∃ d¯u.o..c go.i l`a lu.o..ng t`u. Tˆ `on ta.i. Mˆe.nh d¯ˆ `e “Tˆ`on ta.i duy nhˆa´t mˆ o.t phˆ`an tu’. X cu’a X c´o t´ınh chˆ a´t P(x)” d¯u.o..c viˆe´tnhu. Sau: ∃!x ∈ X, P(x). 10 Lu.o..ng t` u. Phˆo’ biˆe´n v`a lu.o..ng t` u. Tˆ `on ta.i c´o mˆo´i quan lại hˆe. Quan liêu tro.ng sau d¯ˆay. Go.i p. L`a phu’ d¯i.nh cu’a mˆe.nh d¯ˆ `e phường Ta c´o ∀x ∈ X, P(x) ≡ ∃x ∈ X, P(x), ∃x ∈ X, P(x) ≡ ∀x ∈ X, P(x).Ch´ `e nghi. D¯ˆo.c gia’ tu.. Ch´ ung tˆoi d¯ˆ u.ng minh nh˜ u.ng kh˘a’ng d¯i.nh trˆen xem nhu. Mˆo.t b`aitˆa.p.2 quan hˆ e. V` ´ a Anh xa.T´ıch tru..c tiˆe´p (hay t´ıch Descartes) cu’a nhì tˆa.p ho..p X v`a Y l`a tˆa.p ho..p sau d¯ˆay: X × Y = x ∈ X, y ∈ Y .Tru.`o.ng ho..p d¯˘a.c biˆe.t, lúc X = Y , ta c´o t´ıch tru..c tiˆe´p X × X cu’a tˆa.p X v´o.i ch´ınhn´o.- i.nh ngh˜ıa 2.1 Mˆo˜i tˆa.p bé R cu’a tˆa.p ho..p t´ıch X × X d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t quan liêu hˆe.Dhai ngˆoi trˆen X. Nˆe´u (x, y) ∈ R th`ı ta n´oi x c´o quan lại hˆe. R v´ o.i y, v`a viˆe´t x
Ry.Ngu.o..c la.i, nˆe´u (x, y) 6∈ R th`ı ta n´oi x khˆ o quan lại hˆe. R v´o.i y, v`a viˆe´t x
Ry. Ong c´ Ch˘a’ng ha.n, nˆe´u R = (x, y) ∈ Z × Z, th`ı 6R2, nhu.ng 5R3.- .inh ngh˜ıa 2.2 quan tiền hˆe. Nhì ngˆoi R trˆen X d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t quan liêu hˆe. Tu.o.ng d¯u.o.ng
Dnˆe´u n´o c´o tía t´ınh chˆa´t sau d¯ˆay: (a) Pha’n xa.: x
Rx, ∀x ∈ X. U.ng: Nˆe´u x
Ry, th`ı y
Rx, ∀x, y ∈ X. - ˆo´i x´ (b) D `au: Nˆe´u x
Ry, y
Rz, th`ı x
Rz, ∀x, y, z ∈ X. (c) B˘a´c cˆ 11 C´ac quan liêu hˆe. Tu.o.ng d¯u.o.ng thu.`o.ng d¯u.o..c k´y hiˆe.u bo’.i dˆa´u ∼. Gia’ su’. ∼ l`a mˆo.t quan hˆe. Tu.o.ng d¯u.o.ng trˆen X. L´o.p tu.o.ng d¯u.o.ng theo quan hˆe.∼ cu’a mˆo.t phˆ`an tu’. X ∈ X d¯u.o..c d¯i.nh ngh˜ıa nhu. Sau:
Dl`a tˆa.p thu.o.ng cu’ a X theo ∼ v`a d¯u.o..c k´ y hiˆe.u l`a X/∼.V´ı du. 2.5 Gia’ su’. N l`a mˆo.t sˆo´ nguyˆen du.o.ng bˆa´t k` y. Ta x´et trˆen tˆa.p X = Z quanhˆe. Sau d¯ˆay: ∼ = x − y chia hˆe´t cho n. 12R˜o r`ang d¯´o l`a mˆo.t quan hˆe. Tu.o.ng d¯u.o.ng. Ho.n n˜ u.a x ∼ y nˆe´u v`a chı’ nˆe´u x v`a y c´oc` ung phˆ `an du. Vào ph´ep phân tách cho n. V`ı thˆe´, Z/∼ l`a mˆo.t tˆa.p c´o d¯´ ung n phˆ `an tu’. : Z/∼ = <0>, <1>, ...,
D u. Tu.. Nˆe´u n´o c´o tía t´ınh chˆa´t sau d¯ˆay:quan hˆe. Th´ (a) Pha’n xa.: x ≤ x, ∀x ∈ X. U.ng: Nˆe´u x ≤ y v`a y ≤ x th`ı x = y, ∀x, y ∈ X. (b) Pha’n d¯ˆo´i x´ `au: Nˆe´u x ≤ y, y ≤ z, th`ı x ≤ z, ∀x, y, z ∈ X. (c) B˘a´c cˆTˆa.p X d¯u.o..c trang bi. Mˆo.t quan tiền hˆe. Th´ u. Tu.. D¯u.o..c go.i l`a mˆo.t tˆa.p d¯u.o..c s˘ a´p. Nˆe´ux ≤ y, ta n´oi x d¯u´.ng tru.´o.c y, xuất xắc x nho’ ho.n ho˘a.c b˘`a ng y. Ta n´oi X d¯u.o..c s˘a´p to`an phˆ `an (hay tuyˆe´n t´ınh) bo’.i quan hˆe. ≤ nˆe´u v´o.i mo.ix, y ∈ X, th`ı x ≤ y ho˘a.c y ≤ x. Lúc d¯´o ≤ d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t quan tiền hˆe. Th´u. Tu.. To`anphˆ `an (hay tuyˆe´n t´ınh) trˆen X. Ch˘a’ng ha.n, tru.`o.ng sˆo´ h˜ u.u ty’ Q l`a mˆo.t tˆa.p d¯u.o..c s˘a´p to`an phˆ`an d¯ˆo´i v´o.i quan u. Tu.. ≤ thˆong thu.`o.ng. Mˆo.t v´ı du. Kh´ac: nˆe´u X l`a tˆa.p ho..p tˆa´t ca’ c´ac tˆa.p conhˆe. Th´cu’a mˆo.t tˆa.p A n`ao d¯´o, th`ı X d¯u.o..c s˘a´p theo quan tiền hˆe. Bao h`am. D - ˆay khˆong pha’i l`a u. Tu.. To`an phˆmˆo.t th´ u.a nhiˆ `an nˆe´u tˆa.p A ch´ `eu ho.n mˆo.t phˆ `an tu’.. Bˆay gi`o. Ta chuyˆe’n qua x´et c´ac ´anh xa.. Ngu.`o.i ta thu.`o.ng mˆo ta’ c´ac ´anh xa. Mˆo.t c´ach tru..c gi´ac nhu. Sau. Gia’ su’. X v`a Y l`a c´ac tˆa.p ho..p. Mˆo.t ´anh xa. F t` u. X v`ao Y l`a mˆo.t quy t˘a´c d¯˘a.ttu.o.ng u ´.ng mˆo˜i phˆ`an tu’. X ∈ X v´o.i mˆo.t phˆ`an tu’. X´ac d¯i.nh y = f (x) ∈ Y . Anh ´ xa.d¯´o d¯u.o..c k´ y hiˆe.u bo’.i f : X → Y . 13 Tˆa´t nhiˆen mˆo ta’ n´oi trˆen khˆong pha’i l`a mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa ch˘a.t ch˜e, v`ı ta khˆongbiˆe´t thˆe´ n`ao l`a mˆo.t quy t˘a´c. N´oi c´ach kh´ac, trong d¯i.nh ngh˜ıa n´oi trˆen quy t˘a´c chı’l`a mˆo.t tˆen go.i kh´ac cu’a ´anh xa.. `eu d¯´o b˘`a ng c´ach d¯u.a ra mˆo.t d¯i.nh ngh˜ıa ch´ınh x´ac nhu.ng Ta c´o thˆe’ kh˘a´c phu.c d¯iˆho.i cˆ `ong kˆ `e ´anh xa. Nhu. Sau. `enh vˆ Mˆo˜i tˆa.p con R cu’a t´ıch tru..c tiˆe´p X × Y d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t quan liêu hˆe. Gi˜ u.a X v`a Y .Quan hˆe. R d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t ´anh xa. T`u. X v`ao Y nˆe´u n´o c´o t´ınh chˆa´t sau: v´o.i mo.ix ∈ X c´o mˆo.t v`a chı’ mˆo.t y ∈ Y d¯ˆe’ đến (x, y) ∈ R. Ta k´ `an tu’. Duy nhˆa´t y hiˆe.u phˆd¯´o l`a y = f (x). Khi d¯´o R = (x, f (x)).´Anh xa. N`ay thu.`o.ng d¯u.o..c k´ y hiˆe.u l`a f : X → Y v`a quan tiền hˆe. R d¯u.o..c go.i l`a d¯`ˆ o thi.cu’a ´anh xa. F . C´ac tˆa.p X v`a Y d¯u.o..c go.i lˆ`an lu.o..t l`a tˆa.p nguˆ `on v`a tˆa.p d¯´ıch cu’a ´anh xa. F . Tˆa.pho..p f (X) = x ∈ X d¯u.o..c go.i l`a tˆa.p gi´a tri. Cu’a f . Gia’ su’. A l`a mˆo.t tˆa.p con cu’a X. Lúc d¯´o, f (A) = x ∈ A d¯u.o..c go.i l`a a’nhcu’a A bo’.i f . Nˆe´u B l`a mˆo.t tˆa.p bé cu’a Y , th`ı f −1 (B) = x ∈ X d¯u.o..cgo.i l`a nghi.ch a’nh cu’a B bo’.i f . Tru.`o.ng ho..p d¯˘a.c biˆe.t, tˆa.p B = y chı’ gˆ `om mˆo.td¯iˆe’m y ∈ Y , ta viˆe´t d¯o.n gia’n f −1 (y) núm cho f −1 (y).- i.nh ngh˜ıa 2.7D ´ (a) Anh xa. F : X → Y d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t d¯o.n ´ anh nˆe´u v´o.i mo.i x 6= x0 , (x, x0 ∈ X) th`ı f (x) 6= f (x0 ). ´ (b) Anh xa. F : X → Y d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t to` anh nˆe´u v´o.i mo.i y ∈ Y tˆ an ´ `on ta.i (´ıt `an tu’. X ∈ X thế nào cho f (x) = y. Nhˆa´t) mˆo.t phˆ ´ (c) Anh xa. F : X → Y d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t tuy nhiên ´ anh (hay mˆo.t tu.o.ng u ´.ng mˆ o.t-mˆo.t) nˆe´u n´o v`u.a l`a mˆo.t d¯o.n ´anh v` u.a l`a mˆo.t to`an ´anh. Gia’ su’. F : X → Y l`a mˆo.t song ´anh. Khi d¯´o, v´o.i mˆo˜i y ∈ Y tˆ `on ta.i duy nhˆa´t phˆ `antu’. X ∈ X làm sao để cho f (x) = y. Ta k´ `an tu’. X d¯´o nhu. Sau: x = f −1 (y). Nhu. Y hiˆe.u phˆ 14thˆe´, tu.o.ng u´.ng y 7→ x = f −1 (y) x´ac d¯i.nh mˆo.t ´anh xa., d¯u.o..c k´ y hiˆe.u l`a f −1 : Y → Xv`a d¯u.o..c go.i l`a ´anh xa. Ngu.o..c cu’a f . Hiˆe’n nhiˆen, f −1 c˜ung l`a mˆo.t tuy nhiên ´anh, ho.nn˜u.a (f −1 )−1 = f . Mang đến c´ac ´anh xa. F : X → Y v`a g : Y → Z. Lúc d¯´o ´anh xa. H : X → Z d¯u.o..c x´acd¯i.nh bo’.i h(x) = g(f (x)), ∀x ∈ X,d¯u.o..c go.i l`a ´anh xa. T´ıch (hay ´anh xa. Ho..p) cu’a f v`a g, v`a d¯u.o..c k´ y hiˆe.u l`a h = gfho˘a.c h = g ◦ f . Ch´ `e nghi. D¯ˆo.c gia’ tu.. Ch´ ung tˆoi d¯ˆ u.ng minh hai mˆe.nh d¯ˆ `e sau d¯ˆay.Mˆe.nh d`e 2.8 Ho..p th`anh cu’ a hai d¯o.n ´ ¯ˆ anh la.i l` o.t d¯o.n ´ a mˆ anh. Ho..p th`anh cu’ a haito` anh la.i l`a mˆo.t to`an ´anh. Ho..p th` an ´ anh cu’a hai song ´ anh la.i l` a mˆ o.t tuy vậy ´ anh. `ong nhˆa´t trˆen X, d¯u.o..c x´ac d¯i.nh nhu. Sau Go.i id
X : X → X l`a ´anh xa. D¯ˆ id
X (x) = x, ∀x ∈ X.Mˆ e.nh d`e 2.9 ¯ˆ (i) Gia’ su’. F : X → Y v`a g : Y → Z l` a c´ ac ´ o, nˆe´u anh xa.. Lúc d¯´ gf l`a mˆo.t d¯o.n ´anh th`ı f c˜ a.y; nˆe´u gf l` ung vˆ a mˆ o.t to` an ´ anh th`ı g c˜ ung vˆa.y. ´ (ii) Anh xa. F : X → Y l`a mˆ anh nˆe´u v` o.t tuy vậy ´ a chı’ nˆe´u tˆ `on ta.i mˆ o.t ´ anh xa. G : Y → X sao để cho gf = id
X , f g = id
Y .3 Lu..c lu.o..ng cu’a tˆ a.p ho..p- ˆo´i v´o.i c´ac tˆa.p ho..p h˜D u.u ha.n, khi cˆ`an x´et coi tˆa.p n`ao c´o nhiˆ `eu phˆ`an tu’. Ho.n, ngu.`o.ita d¯ˆe´m sˆo´ phˆ `an tu’. Cu’a ch´ung. Nhu.ng d¯ˆo.ng t´ac d¯o.n gia’n ˆa´y khˆong thu..c hiˆe.n d¯u.o..cd¯ˆo´i v´o.i c´ac tˆa.p c´o vˆo ha.n phˆ `an tu’.. D - ˆe’ so s´anh “sˆo´ lu.o..ng phˆ `an tu’.” cu’a c´ac tˆa.p vˆoha.n, ngu.`o.i ta tro’. La.i v´o.i c´ach l`am cu’a ngu.`o.i nguyˆen thuy’ lúc chu.a biˆe´t d¯ˆe´m. Cu.thˆe’ l`a, nˆe´u muˆo´n xem sˆo´ r`ıu tay c´o d¯u’ mang đến mˆo˜i ngu.`o.i mˆo.t chiˆe´c hay khˆong ngu.`o.i 15ta ph´at cho mˆo˜i ngu.`o.i mˆo.t chiˆe´c r`ıu, t´ u.c l`a lˆa.p mˆo.t tu.o.ng u ´.ng gi˜ u.a tˆa.p ho..p ngu.`o.iv`a tˆa.p ho..p r`ıu.- i.nh ngh˜ıa 3.1 Ta n´oi tˆa.p ho..p X c`D ung lu..c lu.o..ng v´o.i tˆa.p ho..p Y nˆe´u tˆ `on ta.i mˆo.t u. X v`ao Y .song ´anh t` R˜o r`ang quan tiền hˆe. C` ung lu..c lu.o..ng l`a mˆo.t quan lại hˆe. Tu.o.ng d¯u.o.ng. Gia’ su’. Tˆa.p A c´o n phˆ `an tu’.. D `eu n`ay c´o ngh˜ıa l`a c´o mˆo.t tu.o.ng u - iˆ ´.ng mˆo.t-mˆo.tgi˜u.a c´ac phˆ `an tu’. Cu’a A v´o.i c´ac sˆo´ tu.. Nhiˆen 1, 2, 3, ..., n. N´oi c´ach kh´ac, A c´o n phˆ `antu’. Nˆe´u v`a chı’ nˆe´u n´o c` ung lu..c lu.o..ng v´o.i tˆa.p ho..p 1, 2, 3, ..., n. Sau d¯ˆay ch´ ung ta s˜e kha’o s´at l´o.p c´ac tˆa.p ho..p vˆo ha.n c´o “´ıt phˆ `an tu’. Nhˆa´t”, d¯´ol`a c´ac tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o..c.- .inh ngh˜ıa 3.2 Tˆa.p X d¯u.o..c go.i l`a d¯ˆe´m d¯u.o..c nˆe´u n´o c`D ung lu..c lu.o..ng v´o.i tˆa.p ho..p
N c´ac sˆo´ tu.. Nhiˆen. Ch˘a’ng ha.n, Z l`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o..c. Thˆa.t vˆa.y, ´anh xa. F : N → Z x´ac d¯i.nh bo’.icˆong th´u.c f (2n − 1) = −n + 1, f (2n) = n (n = 1, 2, 3, ...)l`a mˆo.t song ´anh. Tu.o.ng tu.., tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ tu.. Nhiˆen ch˘a˜n v`a tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ tu.. Nhiˆen le’ d¯ˆ `eu l`ac´ac tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o..c. C´ac v´ı du. Trˆen mang lại thˆa´y mˆo.t tˆa.p vˆo ha.n c´o thˆe’ c´o c` ung lu..c lu.o..ng v´o.i mˆo.t tˆa.pcon thˆa.t su.. Cu’a n´o. Ta c´o
Mˆ e.nh d `e 3.3 Mˆo˜i tˆa.p bé vˆo ha.n cu’ a mˆ ¯ˆ a.p d¯ˆe´m d¯u.o..c c˜ o.t tˆ ung l` a mˆ a.p d¯ˆe´m o.t tˆd¯u.o..c. 16Ch´ u.ng minh: Gia’ su’. A = a1 , a2 , a3 , ... L`a mˆo.t tˆa.p d¯ˆe´m d¯u.o..c, v`a B l`a mˆo.t tˆa.pcon vˆo ha.n cu’a A. Go.i i1 l`a sˆo´ tu.. Nhiˆen nho’ nhˆa´t làm thế nào để cho ai1 ∈ B, i2 l`a sˆo´ tu.. Nhiˆennho’ nhˆa´t sao cho ai2 ∈ B ai1 . Mˆo.t c´ach quy na.p, in l`a sˆo´ tu.. Nhiˆen nho’ nhˆa´t saocho ain ∈ B ai1 , ai2 , ..., ain−1 ... B˘`a ng c´ach d¯´o, c´ac phˆ`an tu’. Cu’a B d¯u.o..c xˆe´p th`anh mˆo.t d˜ay vˆo ha.n B = ai1 , ai2 , ..., ain , ....N´oi c´ach kh´ac, c´o mˆo.t song ´anh N → B d¯˘a.t n tu.o.ng u ´.ng v´o.i ain . Nhu. Thˆe´ B d¯ˆe´md¯u.o..c. 2Mˆ e.nh d`e 3.4 T´ıch tru..c tiˆe´p cu’ a hai tˆ ¯ˆ a.p d¯ˆe´m d¯u.o..c c˜ ung l` a mˆ a.p d¯ˆe´m d¯u.o..c. O.t tˆCh´ u.ng minh: Khˆong gia’m tˆo’ng qu´at, ta chı’ cˆ u.ng minh N × N l`a d¯ˆe´m d¯u.o..c. `an ch´ Ta xˆe´p tˆa´t ca’ c´ac phˆ `an tu’. (a, b) cu’a N × N th`anh mˆo.t d˜ay vˆo ha.n b˘`a ng c´achsau. Tru.´o.c hˆe´t ta xˆe´p c˘a.p (a, b) v´o.i a + b = 2. Gia’ su’. D¯˜a xˆe´p kết thúc c´ac c˘a.p (a, b)v´o.i a + b = n − 1, ta xˆe´p tiˆe´p c´ac c˘a.p (a, b) v´o.i a + b = n, vào d¯´o c˘a.p (a, b) d¯u.o..cxˆe´p tru.´o.c c˘a.p (a0 , b0 ) nˆe´u a + b = a0 + b0 = n v`a a Mˆ e.nh d`e 3.6 Tˆa.p ho..p R c´ac sˆ ¯ˆ o´ thu..c l` a mˆ o.t tˆ ong d¯ˆe´m d¯u.o..c. A.p khˆ Ngu.`o.i ta n´oi tˆa.p ho..p c´ac sˆo´ thu..c c´o lu..c lu.o..ng continum.4 Nh´ om, V` a Tru.` anh v` o.ng
C´ac kh´ai niˆe.m nh´om, v`anh v`a tru.`o.ng d¯u.o..c gi´o.i thiˆe.u vào tiˆe´t n`ay chı’ d` u.ng o’.m´u.c d¯u’ d` ung mang lại c´ac diˆ˜en d¯a.t vào phˆ `an sau cu’a cuˆo´n s´ach. Gia’ su’. G l`a mˆo.t tˆa.p ho..p. Mˆo˜i ´anh xa. ◦:G×G→Gd¯u.o..c go.i l`a mˆo.t ph´ep to´an nhị ngˆ a.t ho..p th` oi (hay mˆo.t luˆ anh) trˆen G. A’nh cu’a c˘a.pphˆ`an tu’. (x, y) ∈ G × G bo’.i ´anh xa. ◦ s˜e d¯u.o..c k´y hiˆe.u l`a x ◦ y, v`a d¯u.o..c go.i l`a t´ıchhay ho..p th`anh cu’a x v`a y.- .inh ngh˜ıa 4.1 Mˆo.t nh´om l`a mˆo.t tˆa.p ho..p kh´ac rˆo˜ng G d¯u.o..c trang bi. Mˆo.t ph´ep
Dto´an hai ngˆoi ◦ thoa’ m˜an cha d¯iˆ `eu kiˆe.n sau d¯ˆay:(G1) Ph´ep to´an c´o t´ınh kˆe´t ho..p: (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z), ∀x, y, z ∈ G. `an tu’. E ∈ G, d¯u.o..c go.i l`a phˆ(G2) C´o mˆo.t phˆ `an tu’. Trung lˆ a.p, v´o.i t´ınh chˆa´t x ◦ e = e ◦ x = x, ∀x ∈ G.(G3) V´o.i mo.i x ∈ G, tˆ `an tu’. X0 ∈ G, d¯u.o..c go.i l`a nghi.ch d¯a’o cu’a x, làm sao cho `on ta.i phˆ x ◦ x0 = x0 ◦ x = e.Nhˆ a.n x´ et: 18 `an tu’. Trung lˆa.p cu’a mˆo.t nh´om l`a duy nhˆa´t. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u e v`a e0 d¯ˆ Phˆ `eu l`a c´ac `an tu’. Trung lˆa.p cu’a nh´om G th`ıphˆ e = e ◦ e0 = e0 . V´o.i mo.i x ∈ G, phˆ `an tu’. Nghi.ch d¯a’o x0 n´oi o’. Mu.c (G3) l`a duy nhˆa´t. Thˆa.t vˆa.y, `an tu’. Nghi.ch d¯a’o cu’a x th`ınˆe´u x01 v`a x02 l`a c´ac phˆ x01 = x01 ◦ e = x01 ◦ (x ◦ x02 ) = (x01 ◦ x) ◦ x02 = e ◦ x02 = x02 . Vào nh´om c´o luˆa.t gia’n u.´o.c, t´ u.c l`a x ◦ y = x ◦ z =⇒ y = z, x ◦ z = y ◦ z =⇒ x = y.Thˆa.t vˆa.y, d¯ˆe’ c´o luˆa.t gia’n u.´o.c, chı’ cˆ `an nhˆan hai vˆe´ cu’a d¯˘a’ng th´u.c x ◦ y = x ◦ z v´o.inghi.ch d¯a’o x0 cu’a x t` u. Bˆen tr´ai, v`a nhˆan hai vˆe´ cu’a d¯˘a’ng th´ u.c x ◦ z = y ◦ z v´o.inghi.ch d¯a’o z 0 cu’a z t` u. Bˆen pha’i. Nˆe´u ph´ep to´an ◦ c´o t´ınh giao ho´an, t´ u.c l`a x ◦ y = y ◦ x, ∀x, y ∈ G,th`ı G d¯u.o..c go.i l`a mˆo.t nh´om giao ho´ an (hay abel). Theo th´oi quen, luˆa.t ho..p th`anh ◦ vào mˆo.t nh´om abel thu.`o.ng d¯u.o..c k´ y hiˆe.utheo lˆo´i cˆo.ng “ + ”. Ho..p th`anh cu’a c˘a.p phˆ `an tu’. (x, y) d¯u.o..c k´ y hiˆe.u l`a x + y v`a d¯u.o..cgo.i l`a tˆo’ng cu’a x v`a y. Phˆ `an tu’. Trung lˆa.p cu’a nh´om d¯u.o..c go.i l`a phˆ `an tu’. Khˆ ong, k´ yhiˆe.u 0. Nghi.ch d¯a’o cu’a x (x´ac d¯i.nh bo’.i d¯iˆ `eu kiˆe.n (G3)) d¯u.o..c go.i l`a phˆ `an tu’. D¯ˆo´icu’a x, k´ y hiˆe.u (−x). Tru.`o.ng ho..p tˆo’ng qu´at, ph´ep to´an ◦ vào nh´om thu.`o.ng d¯u.o..c k´ y hiˆe.u theo lˆo´inhˆan “ · ”. Ho..p th`anh cu’a c˘a.p phˆ `an tu’. (x, y) d¯u.o..c k´ y hiˆe.u l`a x · y, tốt d¯o.n gia’nxy, v`a d¯u.o..c go.i l`a t´ıch cu’a x v`a y. Phˆ `an tu’. Trung lˆa.p cu’a nh´om d¯u.o..c go.i l`a phˆ`antu’. D¯o.n vi.. Phˆ `an tu’. Nghi.ch d¯a’o cu’a x d¯u.o..c k´ y hiˆe.u l`a x−1 .V´ı du.: 19 (a) C´ac tˆa.p ho..p sˆo´ Z, Q, R lˆa.p th`anh nh´om abel d¯ˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng. (b) C´ac tˆa.p Z∗ = ±1, Q∗ = Q 0, R∗ = R 0 l`am th`anh nh´om abel d¯ˆo´i v´o.i ph´ep nhˆan. (c) Ta d¯i.nh ngh˜ıa ph´ep cˆo.ng vào Z/n nhu. Sau:
